数分前两章复习。 根据 SJTU 数学分析教材的思路，我们使用实数的无限小数定义。
实数的无限小数表示
首先，$\forall{x}\in{\mathbb{R}}, \exists!:n_0\in{\mathbb{Z}},x\in(n_0,n_0+1]$. 利用半开半闭区间将 $(n_0,n_0+1]$ 十等分，又有 $\forall{x}\in{\mathbb{R}}, \exists!:a_1\in{\mathbb{Z}},x\in(n_0+a_1/10,n_0+(a_1+1)/10]$. 如此下去，我们即有实数的无限小数表示：
\[x=n_0.a_1a_2a_3\cdots\]数列极限
-
存在极限：
\[\forall{\varepsilon}>0,\:\exists{N\in{\mathbb{N}}},\:s.t.\forall{n>N}, |x_n-a|<\varepsilon\iff\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a.\] -
不存在极限：
\[\forall{a\in{\mathbb{R}}},\:\exists\varepsilon_0>0,\:\forall{N\in\mathbb{N}},\:\exists{n>N},\:|x_n-a|>\varepsilon_0\] -
极限无穷大：
\[\forall{M>0},\:\exists{N\in{\mathbb{N}}},\:s.t.\forall{n>N},x_n>M\iff{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_n=+\infty\]
- 数列极限的性质：唯一性，有界性，保序性
- 利用定义求极限的思想/技巧
- 迫敛性：构造两数列使待求数列夹于两数列之中，且两数列均收敛于同一极限；
- 四则运算：仅可用于有限次，需要先保证被运算极限存在；
- 大N截断：用于由极限条件推导极限结论，常见于分式加和的极限（令前N项为有限值截断，后N项依赖于n但收敛）
$子列定理:{x_n}收敛\iff其任意子列均收敛到同一个数。$
可用于利用两个或多个子列拼凑出原数列；更常用于反证极限不存在。
$Stolz定理:$
若有：
\[\{y_n\}单调增且\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=+\infty,\:\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_n}=a\]则有：
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=a\]注：Stolz定理的逆定理并不成立。 常见于分式数列的求解。
自然常数 $e$
$\mathrm{Definition:}$
\[e=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\]估算 $e$ 和有限项数列的误差：
\[\begin{aligned} x_{n+m}-x_{n}&=\sum_{k=1}^m\frac{1}{(n+k)!} \\&=\frac{1}{(n+1)!}\left(1+\sum_{k=2}^m\frac{1}{\prod_{j=2}^k(n+j)}\right) \\&\leq\frac{1}{(n+1)!}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{1}{(n+2)^k} \\&\leq\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+2}{n+1} \\&=\frac{1}{n!n}\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\leq\frac{1}{n!n} \end{aligned}\]因此有：
\[0<e-x_n\leq\frac{1}{n!n}\quad\Rightarrow e=x_n+\frac{\theta_n}{n!n}.\]几个需要注意的结论
常见的坏东西不是振荡就是调和级数。
- 发散数列的绝对值数列可能收敛。
- e.g.
$x_n=(-1)^{n-1}$
- e.g.
- 收敛数列与发散数列的积既可以是收敛的，也可以是发散的。
- e.g.1
$a_n=\frac{1}{n},b_n=n\Rightarrow{a_nb_n}$收敛。 - e.g.2
$a_n=\frac{1}{n+1},b_n=n\sin{\frac{n\pi}{2}}\Rightarrow{a_nb_n}$发散。
- e.g.1
- 非负发散数列的积可以收敛。
- e.g. $x_n=\frac{1+(-1)^n}{2},y_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\Rightarrow{x_ny_n=0}$.
- 非负发散数列的和可以收敛。
- e.g. 取一个收敛于 $a$ 的数列，间隔插入 $0$ 构成不收敛的交错数列，再取一个在上述数列为 $0$ 的项为 $a$，非零项为 $0$ 的数列，二者加和显然收敛于 $a$.
- 算术平均值收敛的数列可以发散（亦即Stolz定理的逆不成立）。
- 对任意的
$p\in\mathbb{N}$，总可以有数列$a_n$使得$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n+p}-a_n)=0$而${a_n}$发散。- e.g. 调和级数前 $n$ 项和。
- 与 Cauchy 列等价定义的区别：Cauchy 列定义要求固定 $n$ 后对每个 $p$ 都有
$|x_{n+p}-x_{n}|<\varepsilon$，而这里则是固定了 $p$ 之后对任意大的 $n$ 有$|x_{n+p}-x_{n}|<\varepsilon$.
单调收敛定理
$\mathrm{Theorem}:单调有界实数列必收敛。$
$\mathrm{Proof}:$
\[\{x_n\} 有上界 \iff \exists{M}s.t.\forall{n\geq1},x_n\leq{M}\]又由单调增有：
\[x_1\leq x_2\leq x_3\cdots\leq M\]利用实数的无限小数定义思想
\[\begin{aligned} &\exists n_0\:s.t.\:x_{n_1}\in(n_0,n_0+1] \\&\exists a_1\:s.t.\:x_{n_2}\in(n_0+a_1/10,n_0+(a_1+1)/10] \\&\exists a_2\:s.t.\:x_{n_3}\in(n_0+a_1/10+a_2/100,n_0+a_1/10+(a_2+1)/100] \\&\cdots \end{aligned}\]于是有：
\[\begin{aligned} &\forall{\varepsilon>0},\exists{k}\:s.t.\:10^{-k}<\varepsilon, \\&\forall{n\geq{n_k}},n_0.a_1a_2\cdots{a_k}\leq{x_{n_k}}\leq{n_0.a_1a_2\cdots{(a_k+1)}} \\&\Rightarrow\forall{n\geq{n_k}},|x_n-a|<10^{-k}<\varepsilon \end{aligned}\]因而收敛。
- 常见用法：对递推数列极限，先判断差分的正负号以期给出单调性，再根据可能的单调性分类讨论，寻找对应的上下界。
闭区间套定理
$\mathrm{Theorem}:$
对一闭区间集合 $\{[a_n,b_n]\}_{n\geq{1}}$
若有：
- $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]$
- $\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0$
则有：
\[\exists!\:\xi\:s.t.\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]={\xi}\]亦即：
\[\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\xi\]$\mathrm{Proof}:$
由单调收敛定理有：$a_n$ 单调递增有上界，$b_n$ 单调递减有下界，因而其均收敛，设极限分别为 $\xi$、$\eta$。又由条件2有 $\xi-\eta=0$.
- 常见用法：多用于证明其余定理。
Bolzano-Weierstrass 定理
$\mathrm{Theorem}:若数列{x_n}有界，则其必有收敛子列。$
$\mathrm{Proof}:$
设 $x_n$ 有界，则
\[\exists{a_1<b_1},\:s.t.x_n\in[a_1,b_1]\:\forall{n>1}\]将 $[a_1,b_1]$ 二等分，其中必有一个有 ${x_n}$ 中无穷多个点。记该闭区间为 $[a_2,b_2]$.
数学归纳法，有
在每一个这样的区间中都可以取到一个 $x_{n_k}\in[a_k,b_k]$，而由闭区间套定理有：
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]={\xi}\]因此 $x_{n_k}$ 收敛。
- 常见用法：多用于证明其余定理（例如联合 Heine 定理证明闭区间上连续函数性质。）
Cauchy 收敛准则
Cauchy 列：
\[\forall{\varepsilon>0},\:\exists{N},\:\forall{n,m>N},|x_n-x_m|<\varepsilon\]$\mathrm{Theorem}:实数列{x_n}收敛当且仅当其为 Cauchy 列。$
$\mathrm{Proof}:$
一方面，当 ${x_n}$ 是 Cauchy 列时，我们总可以取 Cauchy 列定义中的 $\varepsilon$ 为一有限值（例如，取为1），则 $N$ 之后的所有项均被限制在 $x_N\pm{1}$ 中。这意味着数列的大小被限制在前有限项中，自然有界；而由 B-W 定理知其必存在一收敛子列。将截断标准 $N$ 取得比 Cauchy 列与 B-W 收敛子列的两个截断标准 $N_1$ 与 $N_2$ 都要大，就可以保证剩余项同时满足 Cauchy 与 B-W 的检验，而由此就有：
由此即有极限存在。 另一方面，有：
\[\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\xi&\iff\forall{\varepsilon>0},\exists{N\in\mathbb{N}},\:\forall{n>N},\:|x_n-\xi|<\frac{\varepsilon}{2} \\&\Rightarrow|x_n-x_m|=|x_n-\xi+\xi-x_m|\leq|x_n-\xi|+|x_m-\xi|<\varepsilon \end{aligned}\]即有其为 Cauchy 列。
- 常见用法：证明级数列是否收敛；证明其余定理。
Cauchy 收敛的几个等价表述
- 数列 ${x_n}$ 收敛
$\iff\forall\varepsilon>0,\exists N=N(\varepsilon), \forall n,m>N, |x_n-x_m|<\varepsilon$. - 数列 ${x_n}$ 收敛
$\iff\forall\varepsilon>0,\exists N=N(\varepsilon),\forall n>N,\forall p\in\mathbb{N}, |x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$ - 数列 ${x_n}$ 收敛
$\iff\forall\varepsilon>0,\exists N=N(\varepsilon), \forall m\in\mathbb{N}, |x_{N+m}-x_N|<\varepsilon$
问题：若将 $\mathbb{N}$ 替换为 $\mathbb{N}$ 的任意子集 $P$ 如何？ 答案是这样的替换无法保证数列仍旧收敛。上述叙述与数列收敛等价要求 $P=\mathbb{N}$ 必须成立。
压缩映像
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$\mathrm{Theorem:Banach不动点定理}$
考虑 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，满足：$\exists:0<q<1$，且有：
\[\forall a,b\in\mathbb{R},\:|f(a)-f(b)|\leq q|a-b|,\]则有：
\[\exists!\xi\in\mathbb{R},\:s.t.\xi=f(\xi)\]称 $\xi$ 为 $f(x)$ 的不动点。
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$\mathrm{Proof:}$
任取
\[\begin{aligned} |x_{n+1}-x_n|&=|f(x_n)-f(x_{n-1})|\\&<q|x_n-x_{n-1}|<\cdots<q^{n-1}|x_2-x_1| \end{aligned}\]$x_1\in\mathbb{R}$, 令$x_{n+1}=f(x_n)$，则有：因而有：
\[\begin{aligned} &|x_{n+m}-x_n| \\&\leq|x_{n+m}-x_{n+m-1}|+|x_{n+m-1}-x_{n+m-2}|+\cdots+|x_{n+1}-x_{n}| \\&<q^{n-1}\left(\sum_{k=0}^{m-1}{q^k}\right)|x_2-x_1| \\&\leq q^n\frac{1}{1-q}|x_2-x_1| \end{aligned}\]当 $n$ 任意大的时候，上式可以任意小，因而 $x_n$ 为一 Cauchy 列，其有极限 $\xi$. 进一步考虑
\[|f(x_n)-f(\xi)|\leq q|x_n-\xi|<c\varepsilon\]$\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)$，有：因而极限成立。于是我们可以对递推公式两边取极限：
\[\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\Rightarrow\xi=f(\xi)\]由此命题得证。
确界原理
- 确界的定义：
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给定非空数集 $S$，若存在实数 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别满足：
\[\begin{aligned} \forall x\in S&,\alpha\leq x\leq\beta \\\:\forall\varepsilon>0,\:\exists x_0,x_1\in S,&\:s.t. x_0<\alpha+\varepsilon,\:x_0>\beta-\varepsilon \end{aligned}\]则称 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为 $S$ 的下确界和上确界，记为 $\alpha=\inf{S}$，$\beta=\sup{S}$.
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$\mathrm{Theorem}:确界存在定理$
- 非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的集合必有下确界。
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$\mathrm{Proof:}$
以上确界为例，利用二分法构造闭区间套压低上界。取初始上界为 $b$,取 $a\in{S}$，二等分 $[a,b]$ 为 $[a,(a+b)/2]$ 和 $[(a+b)/2,b]$，若后者与 $S$ 交集非空则取后者为
\[\exists\xi\:s.t.\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\xi\]$[a_1,b_1]$，否则取前者为$[a_1,b_1]$，继续对$[a_1,b_1]$如此重复，可得系列闭区间套$[a_n,b_n]$，其满足闭区间套定理的要求且保证$b_n$永远是 $S$ 的上界，$a_n$永远属于 $S$。于是由闭区间套定理有：这意味着对于 $\xi$，有 $\forall x\in S, x\leq\xi$；且有：
\[\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall{n>N},\:\xi-a_n<\varepsilon,\:b_n-\xi<\varepsilon\]亦即：
\[\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall{n>N},\:\xi-\varepsilon<a_n\in{S}\]这就满足了上确界的条件，因此 $\sup{S}=\xi$. 下确界的证明类似；特别地，若一个数集 $A$ 没有上界，则 $\sup{A}=+\infty$；若其没有下界，则 $\inf{A}=-\infty$. 规定 $\sup{\varnothing}=-\infty$，$\inf{\varnothing}=+\infty$.
