函数的极限
六种趋近，四类结果。
-
\[\forall{\varepsilon>0},\exists N,\forall x>N, |f(x)-A|<\varepsilon\]$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\in\mathbb{R}\quad(D_f=[a,+\infty))$ -
\[\forall{\varepsilon>0},\exists N,\forall x<-N, |f(x)-A|<\varepsilon\]$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\in\mathbb{R}\quad(D_f=(-\infty,a])$ -
\[\forall{\varepsilon>0},\exists N,\forall |x|>N, |f(x)-A|<\varepsilon\]$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\in\mathbb{R}\quad(D_f=(-\infty,b]\cup[a,+\infty))$ -
\[\forall{\varepsilon>0},\exists\delta>0,\forall 0<|x-x_0|<\delta, |f(x)-A|<\varepsilon\]$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\in\mathbb{R}\quad(D_f=(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta))$ -
特殊发散： $\varepsilon\rightarrow M$，
$|f(x)-A|<\varepsilon\rightarrow f(x)>M/f(x)<-M$
注意：函数极限的复合要求被复合函数必须从去心邻域映射到去心邻域，又或者复合函数在中心点连续。
Heine 定理
$\mathrm{Theorem}:\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\forall x_n\rightarrow x_0,\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A.$
$\mathrm{Proof}:$
懒得写了。
充分性主要思想在于取数列的 $\varepsilon$ 为函数的 $\delta.$
必要性使用反证法，选取一系列 $\delta_k$ 不断压缩区间，使得一系列被压缩区间中的 $x_k$ 构成 $f(x_k)$ 不趋近于 $f(x)$ 的数列，与题设矛盾。
常见应用：从数列极限求函数极限；证明其余定理。
Cauchy 收敛准则
$\mathrm{Theorem}:\lim_{x\rightarrow x_0}收敛\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall{x_1,x_2}\in\mathring{O}(x_0,\delta),|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$.
$\mathrm{Proof}:$ 利用 Heine 定理。核心思想仍旧在于将数列极限的 $\varepsilon$ 作为函数极限的 $\delta$ 使用。
单调收敛定理
$\mathrm{Theorem}:若f(x)在(x_0,x_0+\delta)中单调有界，则\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)收敛.$ $类似地，若f(x)在(x_0-\delta,x_0)中单调有界，则\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)收敛.$
$\mathrm{Proof:}$
此处数列的单调收敛定理联合 Heine 定理仅能给出单调趋近 $x_0$ 的数列 $x_n$ 保证 $f(x_n)$ 收敛。因此我们选定一个单调数列，利用该数列将所有去心邻域中的点夹在数列两项之间，再利用迫敛性给出极限。
函数的连续性
$\mathrm{Definition:}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\iff f(x) 连续$
连续函数的四则运算均连续。连续函数的点点复合运算均连续。 基本初等函数：常指幂对反三
间断点
第一类：可去/跳跃 第二类：无穷/振荡
一致连续与闭区间上连续函数的性质
前有闭区间，接下来，B-W定理很有用。
$\mathrm{Definition:}$
\[\begin{aligned} \forall\varepsilon>0,\exists\delta(\varepsilon)>0,&\forall0<|x_1-x_2|<\delta,|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\\&\iff{f(x)\in U.C.(I)} \end{aligned}\]$\mathrm{Theorem1:}f\in C[a,b]\iff{f\in U.C.[a,b]}.$
$\mathrm{Proof:}$
反证，利用闭区间上的B-W子列定理与Heine定理联合。
$\mathrm{Theorem2:}f\in C[a,b]\Rightarrow{f(x) 有界}.$
$\mathrm{Proof:}$
反证，同样利用闭区间上的B-W子列定理与Heine定理联合。
$\mathrm{Theorem3:}f\in C[a,b]\Rightarrow{f(x) 存在可取到的最大值与最小值}.$
$\mathrm{Proof:}$
利用B-W子列定理构造数列，利用确界原理迫敛。
$\mathrm{Theorem4:}零点存在定理/介值定理$
$\mathrm{Proof:}$
闭区间套+Heine定理。（终于不是B-W子列了。换成推B-W子列的东西了。）
$\mathrm{推论:}$ 闭区间上连续函数总具有不动点。
