本系列文章致力于对近期笔者关于反常、瞬子、扩展场构型以及QCD的U(1)问题、强CP问题等相关内容做一个简单的复习回顾，以便梳理思路。
本文我们来讨论QCD中与反常和后续拓扑内容相关的U(1)与强CP问题。
文章主要参考：Supersymmetry and String Theory, Michael Dine
强 CP 问题与轴子
强 CP 问题
从上一篇的内容中，我们容易注意到，手征反常为其 Lagrangian 引入了一项额外的项 $\alpha(x)\mathscr{A}(x)$. 如果 $\alpha$ 是一个常数，那么在微扰论层面上，这一项就是一个全导数项。Gauss 定理告诉我们全导数项的积分只体现边界的性质，因而这一项在围绕真空展开的微扰论中不会有任何结果；并且如果我们能够保证场构型随着距离的增加衰减的足够快（至少快于 $1/r$），$\mathscr{A}(x)$ 这样的项全域积分就只能给出零，因而甚至在非微扰层面上也没有额外的贡献。
然而，从另一个角度来说，理论最一般的对称性从不禁止我们在最开始的理论中就手动添加一个如下的 $\theta\mathscr{A}(x)$ 项：
\[\delta{\mathscr{L}}=-\frac{\theta}{64\pi^2}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}\]容易看到，由于包含了 $\tilde{F}^{\mu\nu}=\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$，这样的 $\theta$ 项的存在标志着理论存在明显的 CP 破缺。这就意味着，一旦理论中确切的存在非零的这样的项，那么理论本身就会有明显的非微扰效应。
为了考察这样的非微扰贡献，我们便有了一个自然的问题：理论究竟是否允许存在如上的一个非零的 $\theta$ 项？逐一考察标准模型中的三个规范场：$\text{U}(1)$ 超场，$\text{SU}(2)$ 弱场和 $\text{SU}(3)$ 胶子场。
四维时空中 $\text{U}(1)$ 超场的情况是最简单的。由于 $\text{U}(1)$ 平凡的拓扑结构，即使是点电荷这样已经是 $1/r$ 的场，我们所加入的 $\theta$ 项对全时空的积分也仍旧是零；因此这不会为我们带来任何的非微扰问题。同样的论证也可以用在最基础的 QED 理论上，因而我们不用担心最熟知的 QED 存在可能的非微扰 CP 破缺情况。（这与最初的 $\pi_0\rightarrow\gamma\gamma$ 反常存在贡献并不矛盾；在那里反常带来的是一个 $\pi_0(x)F\tilde{F}$ 耦合，这并不是全导数项。）
而对于 $\text{SU}(2)$ 和 $\text{SU}(3)$ 这样拥有非平凡拓扑结构的规范群，其对应的规范场确实可以存在恰以 $1/r$ 衰减的、满足令 $\theta$ 项的全时空积分不为零的特殊场构型。一个这样的例子被称为瞬子（instanton），其被定义为满足如下自对偶方程的经典场构型：
\[F=\pm\tilde{F}\]关于这样的特殊场构型的相关内容将会在后续文章中讨论；对于本节探讨的非微扰问题，我们首先要注意到一个事情：即使这样的 $\theta$ 项非零地存在在 Lagrangian 当中，通过选取合适的手征变换 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_5\alpha}$ 来重定义费米子场，我们也可以借助反常带来的额外项抵消掉 Lagrangian 中原本的 $\theta$ 项（例如，选择 $\alpha=\theta/2$）。如果与这些规范场耦合的费米子是无质量的，那么这样的手征变换不会带来任何额外的 CP 破缺问题；但标准模型中的费米子（通过 Higgs 机制）都是获得了质量的。因此，上述的手征变换重定义会导致费米子的质量项发生变化：
这意味着场重定义后的费米子的质量被额外添加了手征的相位：理论的 CP 破缺被从原始的 $\theta$ 项上转移到了费米子质量项上。对于 $\text{SU}(2)$ 弱作用，这无关紧要，因为弱作用本身就是 CP 破缺的理论；但对于 $\text{SU}(3)$ QCD 理论，这意味着一旦理论中确实存在那样一个 $\theta\mathscr{A}$ 的项，我们将会不可避免地发现 QCD 也存在 CP 破缺的情况。这个现象会产生确切可观测的物理效应。例如，考虑被重定义后的夸克质量项（以二分量旋量形式写出）：
\[\mathscr{L}_{q}=(m_u\bar{u}u+m_d\bar{d}d)e^{\mathrm{i}\theta}+h.c.\]容易看到，其中的 $\theta$ 修正导致了真空期望值变为了 $\theta$ 的函数：
\[E(\theta)\sim 2(m_u+m_d)\cos\theta\langle\bar{q}q\rangle=m_{\pi}^2f_{\pi}^2\cos\theta\]除了真空期望值之外，这个额外的 $\theta$ 还会改变中子的结构，为中子带来一个电偶极矩。
然而，实验结果却并不乐观。对中子电偶极矩的测量表明，如果 $\theta$ 项真的存在，那么其会有一个严格的上界：$\theta<10^{-9}\sim 10^{-10}$，即在 QCD 中，CP 对称性被以一种未知的方式高度的保留了。因此，如果 $\theta$ 项真的存在于理论中，我们就要解释为什么它这么小；如果 $\theta$ 项不存在与理论中，我们就要解释是什么条件禁戒了这样一个符合其余所有对称性的项的出现。这样的困难便是所谓的强 CP 问题。
可能的解决方案
为了解释这样奇怪的实验现象，理论家们提出了以下几个可能的方案：
1. 上夸克零裸质量
一个最简单的想法是：或许最轻的夸克在基本层面根本是没有质量的。只要有这样一个没有质量的费米子与规范场耦合，我们就可以通过手征重定义它获得的反常项来抵消掉理论中的 $\theta$ 项而不产生额外的影响。从现有的实验数据和流代数的理论来看，上夸克有一个较小但非零的质量，大约是 $5\text{MeV}$. 然而，这个从实验给出的结果并不算是一个对该方案的强烈否定，因为重整化群告诉我们这可能只是一个低能有效的结果。在足够高的能区，上夸克仍旧可能是在基本层面上无质量的。
2. 自发 CP 破缺
我们可以假设有一个具有非平凡真空期望值的标量场和夸克们有一些耦合；通过积掉这些重夸克场，我们可能会得到一个标量-$F\tilde{F}$ 的有效算符。标准模型中的 Higgs 场或许就可以充当这个作用；但这并没有真的解决问题，因为这种有效算符的出现依赖于 Yukawa 耦合常数的非实性，而这某种意义上来说这与直接进行手征变换重定义并没有什么很大的区别。
3. 轴子
解决强 CP 问题最吸引人的一个想法或许是一个被称为轴子的东西。轴子理论最早的想法由 Peccei 和 Quinn 提出，其核心在于：$\theta$ 或许不必是个常数，其完全可以是个动力学变量。Wilczek 和 Weinberg 最先接受了这种想法，并发现这要求理论存在一种非常轻的无质量粒子1，称之为轴子。最初的轴子理论已经基本上被实验证伪了；但一些修正后的轴子理论仍旧颇有前景，甚至有望解决一些宇宙学上的问题。
不论是最初的轴子理论，还是后续的一系列修正模型，其都有一个核心的假设：理论中的某些与胶子场耦合的费米子们应当存在某一个轴矢量 $\text{U}(1)_A$ 对称性，这个对称性不仅在远高于 QCD 能标的能量尺度下就被自发破缺了，其也通过和胶子场的耦合被手征反常破坏了。自发对称性破缺会给出一个 Goldstone 场 $\phi$，其在对称变换：
下会因为测度变换为 Lagrangian 带来一个修正：
\[\delta\mathscr{L}_{eff}=-\frac{\epsilon A}{64\pi^2}F_{\alpha\mu\nu}\tilde{F}^{\alpha\mu\nu}\]其中 $A$ 是一个表征反常的无量纲参数。这给出了低能有效作用量的一个耦合：
\[\mathscr{L}_{eff}\sim-\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{64\pi^2}\frac{\phi}{M}F_{\alpha\mu\nu}\tilde{F}^{\alpha\mu\nu}+\cdots\]其中 $M=F_{\phi}/A$，$\cdots$ 代表其余可能的相互作用。我们假定一开始所有的费米子场就被进行了恰当的重定义以保证其质量矩阵都是实的（这也就会导致所有的 CP 破缺项都被包含在可能的 $\theta$ 项里面）；因此，如果上式中的 $\phi$ 取为某个常数时，我们所讨论的可观测量（例如，真空期望值）就不再是独立依赖于 $\phi$ 和 $\theta$ 的函数，而是依赖于 $\theta+\phi/M$ 的函数。而如果整个理论中除去这个 $\phi F\tilde{F}$ 和原始的 $\theta F\tilde{F}$ 之外都是精确保 CP 的，那么 Lagrangian 在经过 CP 变换和 $(\theta+\phi/M)\rightarrow -(\theta+\phi/M)$ 的共同变换之后应当不变，进而有效势将是 $\theta+\phi/M$ 的偶函数。这意味着有效势必然在 $\theta+\phi/M=0$ 处是一个稳定点；于是真空期望值保证了 $\theta+\phi/M=\theta_{eff}$ 恰好为零。
然而，实际的标准模型显然不止这一个 CP 破缺来源。弱相互作用提供了一个额外的 CP 破缺，这使得有效势的稳定点产生了一个足够小的偏移；这就解释了为什么实验测得的 $\theta$ 项如此之小。从有效场论的角度，我们可以进行一些定量计算，为上述讨论中的参量 $M$ 提供一个估计，并给出一些可能的实验限制。对撞机上现在尚未发现轴子的踪迹；但一些来自天文学和宇宙学的观测将轴子的参数 $M$ 限制在了 $10^{10}\sim 10^{12}\text{GeV}$ 之间，这为其提供了一个狭窄但仍有希望的窗口。
$\text{U}(1)$ 问题与反常对 SSB 的影响
QCD 中另一个与反常相关的问题被称作 $\text{U}(1)$ 问题。我们知道，基于上下夸克的 $\text{SU}(2)_L\times\text{SU}(2)_R$ 近似对称性，三个 $\pi$ 介子可以被很好的解释为该对称性破缺带来的 Pseudo-Goldstone 玻色子。然而，容易观察到的，在夸克的零质量极限下，我们的理论同时还有一个轴矢量 $\text{U}(1)_A$ 近似对称性。如果将这个对称性的自发破缺也考虑进来，我们应该得到一个质量与 $\pi$ 介子相差无几的第四个 Goldstone 玻色子。但现实的实验中并没有这样粒子的存在。这便是所谓的 $\text{U}(1)$ 问题。
$\text{U}(1)$ 问题的解决方案比强 CP 问题来的简单得多：由于非平凡的瞬子解的存在性，这个我们预估的近似对称性被与胶子场相关的反常严重破坏了，因此我们没办法认为它仍旧可以产生 Pseudo-Goldstone 玻色子。
然而，这个解决方案似乎看起来和前文强 CP 问题中轴子的假设产生了冲突：如果在这里量子层面的反常可以强到破坏掉经典层面的自发对称性破缺过程，那么为什么在轴子理论中我们还能假设轴子是一个同时具有反常的 Goldstone 玻色子？
这一问题的原因便在于轴子的对称性破缺能标被假设的足够高了。对瞬子解的一个严格计算（将在后续文章中给出）会表明，瞬子的所有贡献都会被一个如下的指数因子压低：
\[g^{-n}\exp(-8|\nu|\pi^2/g^2)\]其中 $\nu$ 取决于瞬子解的性质，被称为卷绕数；$g$ 就是我们熟知的 QCD 耦合常数；$n$ 是被不同理论决定的一个参数，QCD 中取为 $12$. 这一因子解释了为什么瞬子一定是一个非微扰的效应；更重要的是，在考虑到强耦合常数的渐近自由后，这个因子会告诉我们，当能标足够高的时候，瞬子的影响被指数地压低了。$\text{U}(1)$ 问题所涉及的能标大致在 QCD 能标附近，因此其会受到瞬子反常带来的显著影响；而轴子理论被我们假设了一个远大于 QCD 能标的破缺尺度，因此瞬子反常的影响反而变得无关紧要了。
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The Quantum Theory of Fields, Vol.II, Chapter 23, Steven Weinberg ↩
