本系列文章致力于对近期笔者关于反常、瞬子、扩展场构型以及QCD的U(1)问题、强CP问题等相关内容做一个简单的复习回顾，以便梳理思路。
本文我们来讨论QCD中与反常和后续拓扑内容相关的U(1)与强CP问题。
文章主要参考：Supersymmetry and String Theory, Michael Dine
强 CP 问题与轴子
强 CP 问题
从上一篇的内容中，我们容易注意到，手征反常为其 Lagrangian 引入了一项额外的项 $\alpha(x)\mathscr{A}(x)$. 如果 $\alpha$ 是一个常数，那么在微扰论层面上，这一项就是一个全导数项。Gauss 定理告诉我们全导数项的积分只体现边界的性质，因而这一项在围绕真空展开的微扰论中不会有任何结果；并且如果我们能够保证场构型随着距离的增加衰减的足够快（至少快于 $1/r$），$\mathscr{A}(x)$ 这样的项全域积分就只能给出零，因而甚至在非微扰层面上也没有额外的贡献。
然而，从另一个角度来说，理论最一般的对称性从不禁止我们在最开始的理论中就手动添加一个如下的 $\theta\mathscr{A}(x)$ 项：
\[\delta{\mathscr{L}}=-\frac{\theta}{64\pi^2}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}\]容易看到，由于包含了 $\tilde{F}^{\mu\nu}=\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$，这样的 $\theta$ 项的存在标志着理论存在明显的 CP 破缺。这就意味着，一旦理论中确切的存在非零的这样的项，那么理论本身就会有明显的非微扰效应。
为了考察这样的非微扰贡献，我们便有了一个自然的问题：理论究竟是否允许存在如上的一个非零的 $\theta$ 项？逐一考察标准模型中的三个规范场：$\text{U}(1)$ 超场，$\text{SU}(2)$ 弱场和 $\text{SU}(3)$ 胶子场。
四维时空中 $\text{U}(1)$ 超场的情况是最简单的。由于 $\text{U}(1)$ 平凡的拓扑结构，即使是点电荷这样已经是 $1/r$ 的场，我们所加入的 $\theta$ 项对全时空的积分也仍旧是零；因此这不会为我们带来任何的非微扰问题。同样的论证也可以用在最基础的 QED 理论上，因而我们不用担心最熟知的 QED 存在可能的非微扰 CP 破缺情况。
而对于 $\text{SU}(2)$ 和 $\text{SU}(3)$ 这样拥有非平凡拓扑结构的规范群，其对应的规范场确实可以存在恰以 $1/r$ 衰减的、满足令 $\theta$ 项的全时空积分不为零的特殊场构型。一个这样的例子被称为瞬子（instanton），其被定义为满足如下自对偶方程的经典场构型：
\[F=\pm\tilde{F}\]关于这样的特殊场构型的相关内容将会在后续文章中讨论；对于本节探讨的非微扰问题，我们首先要注意到一个事情：即使这样的 $\theta$ 项非零地存在在 Lagrangian 当中，通过选取合适的手征变换 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_5\alpha}$ 来重定义费米子场，我们也可以借助反常带来的额外项抵消掉 Lagrangian 中原本的 $\theta$ 项（例如，选择 $\alpha=\theta/2$）。如果与这些规范场耦合的费米子是无质量的，那么这样的手征变换不会带来任何额外的 CP 破缺问题；但标准模型中的费米子（通过 Higgs 机制）都是获得了质量的。因此，上述的手征变换重定义会导致费米子的质量项发生变化：
这意味着场重定义后的费米子的质量被额外添加了手征的相位：理论的 CP 破缺被从原始的 $\theta$ 项上转移到了费米子质量项上。对于 $\text{SU}(2)$ 弱作用，这无关紧要，因为弱作用本身就是 CP 破缺的理论；但对于 $\text{SU}(3)$ QCD 理论，这意味着一旦理论中确实存在那样一个 $\theta\mathscr{A}$ 的项，我们将会不可避免地发现 QCD 也存在 CP 破缺的情况。这个现象会产生确切可观测的物理效应。例如，考虑被重定义后的夸克质量项（以二分量旋量形式写出）：
\[\mathscr{L}_{q}=(m_u\bar{u}u+m_d\bar{d}d)e^{\mathrm{i}\theta}+h.c.\]容易看到，其中的 $\theta$ 修正导致了真空期望值变为了 $\theta$ 的函数：
\[E(\theta)\sim 2(m_u+m_d)\cos\theta\langle\bar{q}q\rangle=m_{\pi}^2f_{\pi}^2\cos\theta\]除了真空期望值之外，这个额外的 $\theta$ 还会改变中子的结构，为中子带来一个电偶极矩。
然而，实验结果却并不乐观。对中子电偶极矩的测量表明，如果 $\theta$ 项真的存在，那么其会有一个严格的上界：$\theta<10^{-9}\sim 10^{-10}$，即在 QCD 中，CP 对称性被以一种未知的方式高度的保留了。因此，如果 $\theta$ 项真的存在于理论中，我们就要解释为什么它这么小；如果 $\theta$ 项不存在与理论中，我们就要解释是什么条件禁戒了这样一个符合其余所有对称性的项的出现。这样的困难便是所谓的强 CP 问题。
可能的解决方案
为了解释这样奇怪的实验现象，理论家们提出了以下几个可能的方案：
1. 上夸克零裸质量
2. 自发 CP 破缺
3. 轴子
TBD
