本系列文章致力于对近期笔者关于反常、瞬子、扩展场构型以及QCD的U(1)问题、强CP问题等相关内容做一个简单的复习回顾，以便梳理思路。
本文我们来讨论有关孤子、单极子、瞬子和一些拓扑性质的内容。
文章主要参考：The Quantum Theory of Fields, Vol.II, Chapter 22, Steven Weinberg; Monopoles, Instantons and Confinement, Gerard ’t Hooft
在前面几篇关于反常的推文中，我们提到了瞬子这一概念。瞬子实际上是一种拓扑非平庸的经典场构型。所谓“拓扑非平庸”指的是其不能经过一个连续的、保作用量有限的拓扑变换化为平庸场（常数场），而经典场构型则指的是其是经典场方程（ E-L 方程）的解。
除了瞬子（Instanton）之外，非线性场论中还有很多其他复杂但有用的拓扑非平庸场构型，包括孤子（Soliton）、漩涡（Vortex）、单极子（Monopole）、斯格明子（Skyrmion）等等。在本文（和后续文章中）中，我们来逐一讨论这些非平庸的拓扑场构型，以及它们对经典场、量子场的影响。
本文中的所有内容都在 Euclidean 空间中考虑，所有的 $S$ 既可以被视为 $d$ 维欧氏空间中的量子场论作用量，也可以被视为一个 $d+1$ 维理论中静态场的势能。
非线性场论与拓扑
我们首先来讨论这些奇特的场构型是如何与拓扑学联系在一起的。量子场论研究的各种理论模型往往具有一定的对称性；常见的，这种对称性可以被一些李群描述。在这种情况下，场函数就变成了从 $d$ 维空间到李群的表示空间的一个映射。上文提到的“拓扑非平庸”场构型实际上定义了一种这类映射之间的等价关系：任何两个可以在连续的、保作用量有限的拓扑变换下相互转化的场构型都可以被认为是拓扑等价的。在这种意义下，我们自然首先希望能够为这些场构型（映射）依据拓扑等价关系进行分类。
注意到，拓扑等价的定义要求所有的映射不能使作用量的取值为无穷大（物理上无穷大的作用量（~能量）构型也是没有意义的），这为我们的场构型在无穷远处的取值做出了限制1。从这个角度来说，我们可以将原本 $d$ 维空间的无穷远球面认同为一个点。经过这样的认同之后，$d$ 维空间就拓扑等价于 $d$ 维球面，即 $S^d$；所谓的场构型也就变成了从 $S^d$ 到对称群 $G$ 的表示空间的映射。在我们将要见到的各种情况下，这些条件会使得场构型都成为了满足如下描述的一类映射：其将 $d$ 维球面 $S^d$ 映射到某个流形 $\mathscr{M}$ 上，并保证 $S^d$ 上的无穷远点总是会被映射到流形 $\mathscr{M}$ 上的某个固定点。
幸运的是，我们早有系统研究上述映射的方法。在数学上，满足上述条件的拓扑不等价映射被称为流形 $\mathscr{M}$ 的第 $d$ 同伦群，记为 $\pi_d(\mathscr{M})$. 不幸的是，同伦群的计算是极为复杂的，除了一些简单的情形外我们暂时无法得到任一流形的第 $d$ 同伦群的表达式。但万幸的是，接下来的几个例子用到的同伦群都将恰好是那些简单的情形。此外，讨论同伦群的一大意义在于，许多情形下的同伦群都将会是整数群 $\mathbb{Z}$，而这可以被理解为这些对应的场构型会存在一个加性量子数，这在解释许多问题时将是十分有帮助的2。
孤子与畴界
畴界解的基本性质
我们先从最简单的一维空间开始，这个情形过于简单以至于我们还暂时用不到同伦群的内容。一维空间中上述的拓扑不平庸场构型出现在离散对称性破缺的场景中：对称性有可能在不同的畴中破缺到了不同的基态上，而这些畴被“畴界”隔离开来，每个畴界中真空场都会从势的一个极小值跃到另一个极小值上。考虑场构型在 $yz$ 平面内平坦，问题便可在一维空间中考虑。一维空间中的畴界也叫做孤子，其典型的作用量为：
\[S[\phi]=\int\mathrm{d}^2x\:\left(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\partial_x\phi)^2-V(\phi)\right)\]其中容易看到，单位面积上的能量值是：
\[E[\phi]=\int\mathrm{d}x\:\left[\frac{1}{2}(\partial_x\phi)^2+V(\phi)\right]\]作为例子，我们分别考虑两种不同的势能：Ginzberg-Landau 势 (a):
\[(a):\quad V(\phi)=\frac{\lambda}{4!}(\phi^2-F^2)^2\]与 Sine-Gordon 模型 (b)：
\[(b):\quad V(\phi)=A\left(1-\cos\frac{2\pi\phi}{F}\right)\]为了方便起见，我们在这里都对势能做了调整以保证其最低点恰好为零。（这个操作不会带来什么影响，一个全局的大能量是没有任何物理意义的。）
容易观察到，Ginzberg-Landau 势的最低点取在 $\phi=\pm F$ 的位置，而 Sine-Gordon 模型的势能最低点则取在了所有 $\phi=nF, \: n\in\mathbb{Z}$ 的点上。我们研究的场构型是静态的，根据作用量可以给出 E-L 方程：
两边乘 $\partial_x\phi$ 凑能量守恒，给出：
\[\partial_x\left(\frac{1}{2}(\partial_x\phi)^2-V(\phi)\right)=0\]这给出：
\[\frac{1}{2}(\partial_x\phi)^2-V(\phi)=Const\]为了获取这个常数，我们考虑到作用量有限的边界条件要求在 $x\rightarrow\infty$ 时 $\phi$ 要取在势能零点对应的那些常数场上，这意味着 $x\rightarrow\infty, \: \partial_x\phi=0,V(\phi)=0$，因此上式的常数就只能是零。于是我们可以解出：
对于我们所考虑的这两种情况，$\phi$ 都可以被反解出来：
\[\begin{aligned} &(a):\quad\phi(x)=F\tanh\frac{1}{2}m(x-x_0) \\&(b):\quad\phi(x)=\frac{2F}{\pi}\arctan\left(\mathrm{e}^{m(x-x_0)}\right) \end{aligned}\]其中 $m$ 是由 $\lambda,F,A$ 等决定的参数。在 $m$ 足够大的情况下，这两个函数的形式都如同 $F\text{sgn}(x-x_0)$ 一样，将整个 $x$ 轴区分为了两部分，其中一部分的场取为众多真空期望值中的一个，另一个场取为期望值中的另一个，而二者中间则被一段快速的跃变隔开。这正是所谓“畴界”的含义。
当 $m$ 足够大的时候，场方程就将会化为线性方程，此时我们就可以对这些解作线性叠加，而这就会带来所谓的“多孤子”（或者说，多畴界）场构型。这种构型会将 $x$ 轴分割为多个区域，每个区域都有自己的真空期望值；看起来就像很多墙壁各自围起来的地块一样。
与费米子耦合
考虑畴界和费米子场的耦合将是有用的，因为它可以为我们关于 Higgs 场的一些讨论做出演示。考察一个 $1+1d$ 的费米子场 Lagrangain：
\[\mathscr{L}_{\psi}=-\bar{\psi}(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+g\phi(x))\psi\]其中我们的 $\gamma$ 矩阵取为：
\[\gamma^1=\sigma_1,\gamma^4=\sigma_3,\gamma^5=\sigma_2\]而 $\phi(x)$ 则是上述 $(a)$ 情况的解。容易看到其实第二项充当了一个费米子的（空间依赖）的质量项。如果 $\phi(x)$ 的真空期望值在全空间都一样（我们熟知的 Higgs 机制），那么这就只会简单的给出一个 $m_{\psi}=gF$. 但如果 $\phi$ 取成孤子（畴界）解呢？同样考虑静态场，求解场方程，给出：
\[(\sigma_1\partial_x+g\phi)\psi_{\pm}=0\]其中 $\psi_{\pm}$ 是零能的 $\sigma_1$ 本征值为 $\pm 1$ 的解。最终我们可以解出：
这被称为 Jackiw-Rebbi 模式，我们将其是做孤子-费米子束缚态；我们可以看到，当这个模式处在畴界上的时候，它将不会拥有质量。
斯格明子与 Derrick 定理
接下来我们考虑一个更加普遍的情形。在自发对称性破缺的过程中，我们经常见到如下的非线性 $\sigma$ 模型：
\[S[\pi]=\int\mathrm{d}^dx\left[\frac{1}{2}g_{ab}(\pi)\partial_i\pi^a\partial^i\pi^b+\cdots\right]\]作用量有限的条件要求 $\partial_i\pi_a(\boldsymbol{x})$ 在 $|\boldsymbol{x}|\rightarrow\infty$ 时至少以快于 $|\boldsymbol{x}|^{-d/2}$ 的速度向零衰减，这意味着场 $\pi_a(\boldsymbol{x})$ 要在 $|\boldsymbol{x}|\rightarrow\infty$ 时趋于一个全域常值，且余项衰减速度要快于 $|\boldsymbol{x}|^{1-d/2}$. 作为一种非线性实现，我们总可以通过 $G$ 的变换将这个全域常值变为零。于是我们看到，正如前文所述，场 $\pi_a(\boldsymbol{x})$ 代表了一个从 $S^d$ 到 $G/H$ 的映射，并且其把无穷远点总映射到 $G/H$ 中的原点；这构成了同伦群 $\pi_d(G/H)$. 在我们熟悉的 QCD 手征微扰论，即 $d=3$ 且 $G=\text{SU}(3)\times \text{SU}(3)$，$H=\text{SU}(3)$；或者 $d=3$ 且 $G=\text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$，$H=\text{SU}(2)$ 的情形下，$\pi_3(G/H)$ 是非平凡的，因此这些情形中我们有非平庸的拓扑场构型，称为斯格明子。
关于斯格明子（以及一系列其他拓扑场构型）的真实存在性，有一个重要的定理：如果上式作用量中没有 $+\cdots$ 所描述的高阶导数项，那么理论将没有机会稳定实现这些拓扑非平庸的场构型；这被称为 Derrick 定理，我们接下来会给出一个它的证明。注意到，由于对时空坐标的一个缩放不会改变场的拓扑性质（拓扑与尺度无关），所以我们总可以定义如下的场（相当于对时空做一个 dilatation）：
\[\pi_a^R(\boldsymbol{x})=\pi_a(\boldsymbol{x}/R)\]其保持了与 $\pi_a(\boldsymbol{x})$ 相同的拓扑性质。将这个新的场带入到 $S$ 中，给出：
当 $d>2$ 时，$S[\pi^R]$ 随 $R\rightarrow 0$ 递减，这意味着 $S[\pi^R]$ 可以连续（保拓扑）地向下延伸到 $0$；而对于一个拓扑非平庸的场构型，$\partial_i\pi_a^R$ 不可能恒为零，进而 $S[\pi^R]$ 也不可能为零，因此 $S[\pi^R]>0$ 恒成立；而这就意味着只有当 $R=0$ 时才会达到 $S[\pi^R]$ 的下界（也就是体系的稳定真空），此时 $\pi_a^R$ 将会变得奇异；由此我们得出这种拓扑不平庸的场构型无法稳定存在。$d<2$ 的情况本应给出类似的不稳定问题（比如下文中瞬子将要面对的是 $d<4$ 与 $d>4$ 时均不稳定），但前述的畴界可以稳定存在，因为在那里我们的 $d=1$，这使得离散对称性有机会发挥作用.
正如我们前面所说，以及后面有些例子中将要展示的，这个问题可以通过在作用量中引入额外的项来解决。如果作用量中包含了 $\pi_a(\boldsymbol{x})$ 的额外导数项，例如四个导数耦合，那么我们的作用量中会出现一个正比于 $R^{d-4}$ 的项，这会改变 $R>2$ 时 $S[\pi^R]$ 下界的位置，从而缓解 Derrick 定理的限制。
涡旋线与单极子
我们已经看到，畴界是一维空间中的拓扑不平庸场构型的例子。我们可以尝试在更高维度寻找一些更加有趣的拓扑场构型。有两个这样的例子，其一发生在 $2+1d$ 时空中，被称为涡旋线；其二发生在 $3+1d$ 时空中，被称为单极子。Derrick 定理禁止了这种情况下的纯标量场的拓扑非平凡解，因此为了有一个良定义的非平庸场构型，我们不得不向作用量中额外引入一些别的东西。不同于斯格明子中我们讨论的高阶导数项，在这里我们选择引入规范对称性并纳入规范场，于是作用量变为了：
\[S[\phi,A]=\int\mathrm{d}^dx\left[\frac{1}{2}g_{ab}(\phi) D_i\phi^a D^i\phi^b+\frac{1}{4}F_{\alpha ij}F^{\alpha ij}+U(\phi)\right]\]其中 $g_{ab}(\phi)$ 是非线性 $\sigma$ 模型的正定度规，$U(\phi)$ 作为势能被强制指定了 $0$ 作为最小值；$F_{\alpha ij}$ 和 $D_i$ 是我们熟悉的规范场强和协变导数。作用量有限的要求再次给出了一些限制，最显然的一个是 $U(\phi)$ 要在无穷远处为零。这与畴界解的要求有些类似；但畴界解对应于一些离散的对称性，而在这里和接下来的单极子中我们将要考虑一些连续对称性的情形：考虑 $U(\phi)$ 的零点构成流形 $\mathscr{M}_0=G/H$，这意味着每个场值 $\phi(\hat{\boldsymbol{x}})$ 都能通过一个变换 $\gamma(\hat{\boldsymbol{x}})\in G$ 作用在某个固定方向的场 $\phi(\hat{\boldsymbol{x}}_1)$ 上获得；特别地，所有属于 $H$ 的变换不改变 $\phi(\hat{\boldsymbol{x}}_1)$. 这表示 $\phi(\hat{\boldsymbol{x}})$ 构成了一个从 $S^{d-1}$ 到陪集空间 $G/H$ 的映射，其中某个固定方向 $\phi(\hat{\boldsymbol{x}}_1)$ 被映射到 $G/H$ 的原点 $H$ 上；这构成了同伦群 $\pi_{d-1}(G/H)$.
由于此时 $\phi(\boldsymbol{x})$ 在无穷远处只依赖于方向，$\partial_i\phi(\boldsymbol{x})$ 的渐进行为将会是 $1/|\boldsymbol{x}|$ 的；但作用量有限的要求告诉我们 $D_i\phi$ 至少要快于 $|\boldsymbol{x}|^{-d/2}$ 地趋于零，因此我们必须在联络项上动动手脚。容易看到，如果我们能实现如下渐进关系：
那么无穷远处的 $\phi(\hat{\boldsymbol{x}})$ 就可以被恰巧抵消掉。因此这对规范场附加了额外的要求：$\mathrm{i}t_\alpha A^{\alpha}_i(\boldsymbol{x})$ 要以快于 $|\boldsymbol{x}|^{-d/2}$ 的速度趋于上述纯规范项；这同时也保证了规范场自身的动力学项一定满足使 $S$ 有限的条件。顺便，对于 $2<d<4$ 的情形，Derrick 定理在这里确实不起作用，因为规范场的动力学项充当了调整 $S$ 最小值点的那个额外项。
接下来我们分别来讨论这两个情形的例子。
涡旋线
我们考虑的第一个例子是 $2+1d$ 时空中 $\text{U}(1)$ 完全被破缺的理论，这给出了一个涡旋线。正如上文所说，我们需要选定一个方向作为映射到 $H$ 的位置。不妨令 $x$ 轴方向的场是实的，即：
\[\phi(\hat{r})=F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\hat{r})},\:\phi(\hat{x})=F\]并令任意方向的渐进场为该场的 $\text{U}(1)$ 变换：
\[\phi(\hat{r})=F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\hat{r})}\]这给出：
\[\vec{\partial}\phi=\frac{1}{r}\mathrm{i}F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\hat{r})}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\theta}\hat{\theta}\]并顺便给出规范场的渐进行为：
\[\mathrm{i}e\vec{A}(\hat{r})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi(\hat{r})}\vec{\partial}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\hat{r})}=\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\theta}\hat{\theta}\]我们看到 $\vec{A}$ 正比于 $\hat{\theta}$，说明其是一个转圈圈的场，这也是其被称为“涡旋线”的原因。
在这个例子里 $\varphi(\hat{r})=\varphi(\theta)$ 就是那个同伦映射，其需要满足 $\varphi(2\pi)-\varphi(0)=2\pi n$，以保证 $\hat{x}$ 方向总是实的。数学知识告诉我们，$\pi_1(\text{U}(1))=\mathbb{Z}$，也就是 $S^1$ 的基本群，因此 $n$ 即表征了所谓的卷绕数（Winding Number）.
我们可以把这个“卷绕数”的物理意义展示得再清楚一些。考虑绕着原点的一个足够大（大到渐进行为可用）的圆路径，我们希望获得通过它的“磁通量”，这给出：
\[\Phi=\int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{\partial S}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{e}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{2\pi n}{e}\]这正给出了磁通量子化条件；因此，卷绕数的物理意义对应了所谓的“磁通量子”。需要注意到的是，正如我们先前讨论的，这是一个加性量子数；两个卷绕数分别为 $n_1$ 和 $n_2$ 的标量场对应的规范场加一加可以获得 $n=n_1+n_2$ 的磁通量子。在下个例子中，我们将会看到，这会对应于将要出现的“磁单极子”。
单极子
虽然涡旋线给出了一个加性量子数和磁通量子化的例子，但问题在于其是建立在 $d=2$ 且破缺电磁 $\text{U}(1)$ 对称性的前提下的。然而，我们的现实世界既不是 $d=2$ 的，也不是电磁 $\text{U}(1)$ 破缺的，所以涡旋线并不能描述我们的真实世界。但，我们的世界可以是 $d=3$ 的（只要把 $S$ 解释为势能，即只考虑空间维度），并且标准模型有一个“破缺到 $\text{U}(1)$”的过程。有趣的是，这也会带来一个拓扑非平庸的场构型，被称为 ‘t Hooft-Polyakov 单极子。这种单极子的一个著名模型是我们在之前就讨论过的 $\text{SU}(2)$ Georgi-Glashow 模型；其虽仍然不是标准模型的真实内容，但仍旧富有启发性。我们在本小节便来考虑这个模型下的磁单极子。数学知识告诉我们，当任意单连通 $G$ 破缺到电磁相互作用的 $\text{U}(1)$ 群时，我们有：
\[\pi_2(G/\text{U}(1))=\pi_1(\text{U}(1))=\mathbb{Z}\]这意味着我们将要讨论的磁单极子也将被一个加性量子数所表征。
正如我们先前所构造的，$\text{SU}(2)$ Georgi-Glashow 模型为：
\[\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{n\mu\nu}F^{n\mu\nu}-\frac{1}{2}D_{\mu}\phi_n D^{\mu}\phi^n-V(\phi_n\phi^n)\]其中我们总是取 $\text{SU}(2)$ 的伴随表示，结构常数为 $\varepsilon_{nml}$. 我们在这里不明确给出 $V(\phi)$ 的形式，其只是保证对称群会自发破缺到 $\text{U}(1)$ 而已，有一个这样的例子是我们在之前的推文中讨论过的。
在继续这个模型的讨论之前，我们需要先理清一些事情。我们已经看到，这个模型将同时涉及到非平庸的拓扑场构型和 Higgs 机制两件事情。非平庸拓扑场构型的构造方法我们已经在涡旋线的例子中展示了：其核心是指定一个从无限大时空球面 $S^2$ 到 陪集空间 $\text{SU}(2)/\text{U}(1)$ 的映射，这样的映射将会携带非平凡的拓扑性质；而 Higgs 机制却告诉了我们另一件事：我们应该总可以通过一个规范变换来令场符合幺正规范，即只在未破缺方向取值。这样的规范变换似乎与我们所探究的非平凡场构型相矛盾；但实际上，拓扑非平凡性本身禁戒了这样变换的良好存在性，或者说，对于非平庸拓扑场构型，这样的变换总会有一个地方出现奇异。特别的，在 ‘t Hooft 磁单极子情形中，如果我们强行施加这种变换，就会获得一个看起来像 Dirac 单极子的场，而这种奇异性将会对应于所谓的 Dirac 弦。3
接下来我们开始着手实际构造非平庸的拓扑场构型。之前的讨论已经告诉了我们，在该情况下我们会获得一个加性量子数，因此我们可以选择讨论最简单的情况：选择那个映射到恒等元4的等价类，即拓扑荷（卷绕数）为 $1$ 的那一种。这种映射表示我们将 $S^2$ 与 $\text{SU}(2)/\text{U}(1)=S^2$ 点点对应，因此不妨取为：
\[\phi_n(x)=\hat{x}_n\langle\phi\rangle F(r)\]这相当于我们在无穷远指定了旋转变换 $R=R(\hat{x})$5，而根据我们的讨论，这意味着规范场要正比于这一变换的生成元，因此不妨给出拟设：
\[A_{ni}=\frac{\varepsilon_{nil}\hat{x}_l}{er}G(r)\]注意到，这里出现了一个特征：$\text{SU}(2)$ 伴随表示空间中的指标和时空指标混杂在了一起。带回到 $S$ 的表达式，作用量（势能）有限的条件对 $F$ 和 $G$ 及其导数的渐进行为给出了一些约束；特别的，经过计算可以得到：
\[F_{nij}\rightarrow -\frac{\varepsilon_{ijk}\hat{x}_k\hat{x}_n}{er^2}\]Higgs 机制告诉我们电磁场将是其 $n=3$ 的部分，这给出：
\[F_{3ij}\rightarrow-\frac{\varepsilon_{ijk}\hat{x}_k}{er^2}\]而磁场被定义为：
\[B_i=\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}F_{3jk}=-\frac{\hat{x}_i}{er^2}\]这意味着此时的磁场确是一个单极子构型，其中磁荷为 $g_m=-1/e$. 根据拓扑荷的可加性，我们可以预见，对于更高卷绕数的非平凡构型，我们会获得磁荷的值为：
瞬子
另一个更加有趣（如前所述，也更加有用）的拓扑场构型被称为瞬子。不同于孤子描述的是类标量场的构型，瞬子描述的是规范场本身的构型。
考虑一个只有规范场的理论，其作用量为：
\[S[A]=\frac{1}{4}\int\mathrm{d}^dxF_{\alpha ij}F^{\alpha ij}\]作用量有限的条件告诉我们 Lagrangian 需要在无穷远处足够快的趋于零。同样的，只要场 $A_{\alpha i}$ 快于 $x^{1-d/2}$ 的趋于零，那么作用量就一定是有限的。然而，即使对于 $d\geq 4$ 的空间，规范带来的额外自由性告诉我们，以 $1/x$ 趋近于零的场构型仍旧有机会满足零作用量有限，只要我们能保证在 $x\rightarrow\infty$ 时场趋于纯规范，即：
其中 $\hat{\boldsymbol{x}}$ 表征方向；其构成了 $S^{d-1}$. 在这样的纯规范上进行一个常规范变换对场 $A_{\alpha i}$ 是没有影响的，因此我们总可以对任意的这类构型选定一个统一的方向 $\hat{\boldsymbol{x}}_1$，并作整体规范变换，令这个方向的规范 $g(\hat{\boldsymbol{x}}_1)=e$. 这意味着，场构型构成了一类从 $S^{d-1}$ 到 $G$ 的映射，并且其把 $S^{d-1}$ 上某固定点 $\hat{\boldsymbol{x}}_1$ 映到 $G$ 上的恒等元 $e$. 这又定义了同伦群 $\pi_{d-1}(G)$. 特别地，数学上已经证明了，对于任意的半单李群 $G$，$\pi_3(G)$ 都是非平庸的；因此我们将 $d=4$ 时这样非平庸的场构型称为瞬子。为什么是 $d=4$ 呢？这再一次需要我们考虑 Derrick 定理。规范场作为 $1$ 形式，其在时空的缩放下按如下方式变换：
带入到作用量中，这给出其随 $R$ 的变化趋势：
\[S[A^R]=R^{d-4}S[A]\]类似于 Derrick 定理的讨论，这意味着只有 $d=4$ 时 $S$ 不随时空缩放改变，进而可以获得稳定的拓扑非平凡解。
