本系列文章是对 Piguet & Sorella 的 Algebraic Renormalization 一书部分章节的笔记。
重整化微扰理论
在本章中，我们应当首先回顾一些重整化理论的基本事实。
显然地，我们在量子场论中最关注的核心数据是 Green 函数。通过 LSZ 约化公式，实验所关注的散射矩阵元可以直接从 Green 函数中获得。微扰论中，我们将任何 Green 函数都展开为了形式幂级数。使用形式幂级数意味着我们并不期待这个级数展开的求和能给出有意义的收敛物理量；因此我们接下来要介绍的所有关系总是对幂级数的展开阶数逐阶成立的。形式幂级数有两个基本且重要的性质：
- 一个形式幂级数为零当且仅当其所有项均为零。等价地，形式幂级数非零当且仅当其中至少有一项非零。
- 一个形式幂级数存在一个同为形式幂级数的逆，当且仅当该形式幂级数的零阶项可逆。例如，如果我们有一个 $N\times N$ 的矩阵项形式幂级数，那么其可逆的条件是这个幂级数的零阶项要是一个可逆的 $N\times N$ 矩阵。
生成泛函
定义
我们在大多数情况下选择在一个 $D$ 维的 Euclidean 时空处理问题；为了方便地展示逐阶展开的性质，我们有时会刻意保留 $\hbar$. Green 函数的生成泛函形式地写为：
\[Z[J]=\mathcal{N}\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}\left[S[\phi]+\int\mathrm{d}^Dx\,J^i(x)\phi_i(x)\right]\right\}\]其中 $\mathcal{N}$ 是一个（在大多数情况下非良定义的）的数值常系数。特别地，对于我们关注的微扰论，一般总是将作用量 $S[\phi]$ 拆解成严格可解的部分 $S_{\text{free}}$（称为自由理论）与需要做微扰展开的部分 $S_{\text{int}}$（称为相互作用）。在这样的拆分下，我们有：
其中 $Z_{\text{free}}$ 是将 $S$ 替换为 $S_{\text{free}}$ 后的生成泛函。
进一步地，连通生成泛函定义为：
\[W[J]=-\hbar\ln Z[J]\]单粒子不可约（1PI）图（或称顶点函数）被定义为一类连通的、截去外腿并且在切断任意一根内线后仍保持连通的图。顶点函数的生成泛函（又称量子有效作用量）定义为连通生成泛函的 Legendre 变换：
\[\Gamma[\phi]=\left.W[J]-\int\mathrm{d}^Dx\,J^i(x)\phi_i(x)\right|_{J^i(x)=\text{Sol of Eq.}\left\{\phi_i(x)=\frac{\delta W}{\delta J^i(x)}\right\}.}\]我们也可以用逆 Legendre 变换定义连通生成泛函：
\[W[J]=\left.\Gamma[\phi]+\int\mathrm{d}^Dx\,J^i(x)\phi_i(x)\right|_{\phi_i(x)=\text{Sol of Eq.}\left\{-J^i(x)=\frac{\delta \Gamma}{\delta \phi_i(x)}\right\}.}\]特别地，这个定义给出了关系：
\[\int\mathrm{d}^Dy\,\Gamma^{ij}(x,y)\langle \mathrm{T}\phi_j(y)\phi_k(z)\rangle_{c}=-\delta^i_k\delta^D(x-z).\]这个关系是一般的作用量中“二次项的逆等于传播子”的推广。
按 $\hbar$ 展开
我们可以将有效作用量按圈展开：
\[\Gamma[\phi]=\sum_{n=0}^{\infty}\hbar^n\Gamma^{(n)}[\phi].\]其中 $n$ 是圈计数而 $\Gamma^{(n)}$ 是所有 $n$ 圈图的贡献。这个关系可以简单地使用 Euler 恒等式论证：考虑一个有 $I$ 条内线 $V$ 个顶点 $L$ 圈的 1PI 图，每条内线贡献一个 $\hbar$ 而每个顶点贡献一个 $\hbar^{-1}$，再加上 $W=-\hbar\ln Z$ 提供的额外 $\hbar$，我们有每个这样的 1PI 图都贡献 $I-V+1$ 个 $\hbar$；而 Euler 恒等式告诉我们：
\[I-V+1=L\]因此我们可以识别出每个 $L$ 圈图总会带 $L$ 个 $\hbar$. 特别地，这意味着有效作用量的第零阶必须给出经典作用量：
\[\Gamma^{(0)}[\phi]=S[\phi].\]复合场算符
除了基本场的关联函数作为 Green 函数外，我们经常关注的另一类物理量是各种携带复合场算符插入的关联函数，这样的情况经常出现在 QCD 和包含非线性变换的理论中。为此，考虑一复合场算符 $Q^p(x)$，其经典解对应于一复合场多项式 $Q^p_{\text{classical}}(x)$. 利用同样的构造，我们会在作用量中引入源项：
以这样的作用量，我们定义出生成泛函：
\[Z[J,K]=\mathcal{N}\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}\left[S[\phi]+\int\mathrm{d}^Dx\,J^i(x)\phi_i(x)+\int\mathrm{d}^D x\,K_p(x)Q^p_{\text{classical}}(x)\right]\right\}\]这样定义的生成泛函可以一并生成任意复合算符插入数量的场关联函数。进一步地，我们可以定义连通生成泛函：
\[W[J,K]=-\hbar\ln Z[J,K]\]与有效作用量：
\[\Gamma[\phi,K]=\left.W[J,K]-\int\mathrm{d}^Dx\,J^i(x)\phi_i(x)\right|_{J^i(x)=\text{Sol of Eq.}\left\{\phi_i(x)=\frac{\delta W}{\delta J^i(x)}\right\}.}\]特别地：
\[-\left.\hbar\frac{\delta Z}{\delta K_p(y)}\right|_{K=0}:=Q^p(y)\cdot Z[J]\]可以生成所有带单个复合算符插入的 Green 函数：
\[\langle\mathrm{T}Q^p(y)\phi_{i_1}(x_1)\cdots\phi_{i_N}(x_N)\rangle\]这样的关联函数对应的 Feynman 图会包含一个新的“外顶点”，其对应于作为算符插入的 $Q^p_{\text{classical}}(y)$ 复合场。进一步有：
在 $\hbar$ 展开意义下，我们有：
\[Q^p(y)\cdot\Gamma[\phi]=Q^p_{\text{classical}}(y)+O(\hbar)\]这正对应于量子算符 $Q^p(y)$ 的经典构造。
重整化
接下来我们将着手考虑如何系统地对上述构造执行完善的重整化程序。对于我们构造的三个生成泛函，选择顶点函数（有效作用量）作为着手点是最方便的，因为我们已经看到了，其按 $\hbar$ 展开的结果已经确切地包含了相应的圈积分，进而确实对应于我们需要处理的相应发散。我们会一并考虑基本场 $\phi_i$ 和 外源场 $K_p$，因为我们同样关注于如何重整化一个复合场算符。因此统一地，我们将它们都记作 $\Phi_i$.
紫外发散
重整化的目的是处理紫外发散，因此我们首先需要考虑 1PI 图如何被紫外发散所影响。定义顶点函数的 Fourier 变换：
\[\begin{aligned} &(2\pi)^D\delta^D(\sum p_k)\tilde{\Gamma}_{N_1N_2\cdots}(p_1,\cdots,p_{N_1},p_{N_1+1},\cdots,p_{N_1+N_2},\cdots) \\&=\int\left(\prod\mathrm{d}^Dx_k\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sum x_kp_k}\Gamma_{N_1N_2\cdots}(x_1,\cdots,x_{N_1},x_{N_1+1},\cdots,x_{N_1+N_2},\cdots) \end{aligned}\]其中我们定义：
\[\begin{aligned} &\Gamma_{N_1N_2\cdots}(x_1,\cdots,x_{N_1},x_{N_1+1},\cdots,x_{N_1+N_2},\cdots) \\&=\langle\mathrm{T}\Phi_1(x_1)\cdots\Phi_1(x_{N_1})\Phi_2(x_{N_1+1})\cdots\Phi_2(x_{N_1+N_2})\cdots)\rangle_{1\text{PI}} \end{aligned}\]其中 $N_A$ 是场 $\Phi_A$ 的出现次数。
接下来我们考虑对某个 1PI 图 $\gamma$ 的贡献：
- $N_A$ 个（被截掉的）外线，对应于 UV 量纲为 $d_A$ 的场 $\Phi_A$，$A=1,2,\cdots$；
- $N_V$ 个从 Lagrangian 中读出的 UV 量纲为 $d_k$ 的相互作用顶点 $V_k$，$k=1,\cdots,N_V$；
- $I_{ij}$ 条对应于自由传播子 $\Delta_{ij}$ 的内线，$i,j=1,2,\cdots$；
- $L$ 个圈。
其中我们如下地定义每个场 $\phi_i$ 的 UV 量纲 $d_i$：
- 自由 Lagrangian 中二次项的量纲为时空维度 $D$，而每个时空导数被赋予 $1$ 的量纲；
- UV 量纲 $d_i$ 必须满足不等式：
其中 $d_{ij}$ 是相应场的动量空间自由传播子的 UV 量纲，被定义为动量空间传播子的 UV 渐进行为指数：
\[\tilde{\Delta}_{ij}(p)\sim p^{d_{ij}},\quad p\rightarrow\infty.\]对于耦合到复合场算符 $Q^p$ 的外源场 $K_p$，我们定义 $d_p=D-d_{Q^p}$，其中 $d_{Q^p}$ 是 $Q^p$ 自己的量纲。每一个顶点对应于一系列 $\phi_i$ 与 $K_p$ 和它们的导数的单项式，于是这个顶点的 UV 量纲就是这个单项式的量纲。
对于一个图 $\gamma$，形式地把它写成动量空间积分：
\[J_{\gamma}(p)=\left[\int\prod_{l=1}^L\mathrm{d}^Dk_l\right]\,I_\gamma(p,k)\]其中所有的 $p=(p_1,\cdots,p_N)$ 是外动量（全部取为进入本图的），满足 $\sum_1^N p_k=0$；而 $k=(k_1,\cdots,k_L)$ 是 $L$ 个独立的圈动量。做统一尺度变换 $p\rightarrow\lambda p,k\rightarrow \lambda k$，并令 $\lambda\rightarrow \infty$，若形式积分有渐进性为：
\[\left[\prod_{l=1}^L\mathrm{d}^D(\lambda k_l)\right]I_{\gamma}(\lambda p,\lambda k)\sim \lambda^{d(\gamma)}\]我们便定义 $d(\gamma)$ 为该图的表观 UV 发散度。利用 Euler 恒等式容易验证，表观发散度等于：
\[d(\gamma)=D+\sum_{V_k}(\dim(V_k)-D)-\sum_A N_Ad_A.\]如果所有的顶点量纲都不多于 $D$，那么表观发散度就是有上界的：
\[d(\gamma)\leq d_{\text{max}}(\gamma)=D-\sum_A N_A d_A\]因此这样的理论被称为所谓的“可重整理论”。
特别地，如果我们考虑的生成泛函包含且仅包含一个复合场算符插入，那么我们有 $\sum_A N_Ad_A=d_K+\sum_i N_i d_i=D-d_Q+\sum_i N_i d_i$，于是复合算符插入的最大表观发散度就是：
\[d_{\text{max}}(\gamma)=d_Q-\sum_i N_i d_i.\]紫外减除
Weinberg 与 Zimmermann 关于这类多动量积分的收敛性给出了一个严格的定理，称为幂次计数定理：
\[\boxed{ \begin{aligned} &\large{\boldsymbol{幂次计数定理}：}\large{\text{如果我们的理论中所有的自由传播子都有非零的质量，}}\\&\large{\text{则当且仅当图本身的表观发散度，以及它的所有 1PI 子图的表观发散}}\\&\large{\text{度都是严格负的时候，形如 $J_\gamma$ 那样的Feynman 积分是绝对收敛的。}} \end{aligned} }\]而那些发散的图则来自于我们尝试将过多的传播子分布局域地乘在了一起。为了给这种情况一个好的定义，我们来着手考虑所谓的 BPHZ 动量空间减除方案。BPHZ 减除方案是一个迭代递归的减除方案，其基本思路是在确保图 $\gamma$ 的所有子图的圈积分已经完成了下列手续的情况下，将图 $\gamma$ 的圈积分 $J_\gamma(p)$ 的被积函数 $I_\gamma(p,k)$ 关于外动量 $p$ 的 Taylor 展开中的前几项做合适的减除。
作为一个例子，考虑一个朴素的一圈积分
